EN
Blog
Contact
Bestelformulier
Wiskundig universum
❖
De moderne fysica leert dat de wereld slechts voor een klein deel aan onze intuïties beantwoordt. Wat de natuurwetenschap zegt over de uitgestrektheid van de kosmos en de microwereld van het atoom, kan wel enigszins in bevattelijke beelden worden vertaald. In feite druist de natuur echter op heel grote en heel kleine schaal, en soms ook binnen ons eigen bereik, volstrekt tegen onze intuïties in. Atomen zijn geen kleine harde bolletjes: mijn handen, het tafelblad voor mij zijn grotendeels ijl. Absolute gelijktijdigheid bestaat niet: twee gebeurtenissen die zich voor mij op hetzelfde moment afspelen, kunnen voor een waarnemer in een ander sterrenstelsel lang na elkaar voorvallen, afhankelijk van de afstand die lichtsignalen op hun weg van de gebeurtenissen naar elk van beide waarnemers moeten afleggen.
Anderzijds kunnen wij, als mensen, natuurlijk niets anders doen dan het onvoorstelbare, dat wat tegen onze aangeboren intuïties ingaat, zo goed en zo kwaad als het gaat, te beschrijven met behulp van datgene wat wij wel kunnen bevatten. Het succes van de wetenschap toont dat dit inderdaad verregaand mogelijk is. Wij kunnen ons het heel grote en het heel kleine niet werkelijk voorstellen, maar wij kunnen het blijkbaar zodanig in modellen gieten dat wij de uitslagen van experimenten kunnen voorspellen.
De moderne natuurwetenschap dankt haar succes in hoge mate aan de streng wiskundige taal waarin zij is gegoten. Deze ‘mechanisering’ — eigenlijk mathematisering of verwiskundiging — ‘van het wereldbeeld’1 heeft vanaf de eeuw van Galileï en Newton filosofie en wetenschap uiteengedreven. Natuuronderzoek werd een terrein voor specialisten. De wiskunde die eraan ten grondslag ligt — complexe analyse, tensormeetkunde, niet-commutatieve algebra en wat dies meer zij — is in onze tijd nog slechts voor enkelen te volgen.
De beschouwing van de natuur met wiskundige ogen heeft zo’n hoge vlucht genomen dat sommige onderzoekers werkelijkheid en wiskunde aan elkaar gelijk willen stellen. De wereld zelf is een wiskundige structuur, zegt men.2 Met deze ontdekking zou de laatste stap zijn gezet in de ontmythologisering van de wereld. In de mythologie werd het wereldgebeuren gestuurd door autonome wezens, gewoonlijk naar mens of dier gemodelleerd: de bebaarde god Zeus die vanaf de berg Olympus zijn bliksem naar beneden slingert. De filosofie en de klassieke natuurkunde hadden weliswaar de oude goden opgeruimd, maar zij hadden daarvoor toch weer al te menselijke kwaliteiten in de plaats gezet. In de kwalitatieve natuurbeschouwing figureert het ene natuurlijke fenomeen op onnaspeurlijke wijze als veroorzaker van het andere: de appel die valt omdat de aarde hem aantrekt.
De wiskunde gaat daarentegen niet over kwaliteiten. Zij gaat niet over oorzaken en hun gevolgen, termen die wederom aan de menselijke sfeer zijn ontleend. De mens kan door handelend optreden iets bewerken en heet dan daarvan de veroorzaker. De natuur kent geen oorzaken. Zij kent, zoals de Schot David Hume al in de achttiende eeuw had geleerd, slechts regelmatigheden, patronen die zich herhalen. In weerwil van wat de meest recente fysica suggereert, gaat de wiskunde zelfs niet over ‘deeltjes’ of over ‘plaatsen’. Zij gaat over abstracte entiteiten waarvan zekere definities zijn gegeven en waartussen zekere relaties zijn gedefinieerd.
Laten wij echter een stap terugdoen. Laten wij ons nog niet afvragen: wat is de wereld (speelveld van de goden, een verzameling van materiële objecten met zekere kwaliteiten, een wiskundige structuur)? Laten wij eerst de vraag stellen: wat is wiskunde? Hier blijkt de natuurwetenschap het toch niet geheel zonder wijsgerige beschouwing te kunnen stellen. Het succes van de natuurwetenschap schuilt immers wel in de begrijpelijkheid van de wereld, maar de begrijpelijkheid van de wereld, in het bijzonder de mogelijkheid om de wereld met wiskundige modellen te doorgronden, blijft binnen de natuurwetenschap zelf onverklaard.
Wat de aanhangers van het wiskundige universum als voordeel van hun theorie zien, kan men evenzeer als bezwaar aanmerken. Een wiskundig model kan wel volmaakte samenhang vertonen en vrij zijn van tegenstrijdigheid. Natuurkundige betekenis heeft het echter pas wanneer men de wiskundige symbolen kan associëren met fysische objecten en eigenschappen. Getallen hebben geen gewicht of kleur, en men kan wel over een steen struikelen maar niet over een geometrische figuur. Zonder vertaling van de wiskundige structuur naar een ervaren werkelijkheid blijft de wiskunde een spel, zoals de befaamde meetkundige David Hilbert dat omstreeks 1900 omschreef: veronderstel het bestaan van P-dingen (die wij ‘punt’ noemen maar die ook ‘hihaho’ hadden kunnen heten) en Q-dingen (‘lijnen’ of wat dan ook), en veronderstel het bestaan van een relatie A (‘gelijk aan’ of simpelweg A) en B (‘element van’ of ‘kind van’ of ‘de trots van’), enzovoort. Niet alleen kan men zich bij zo’n wiskunde meerdere heel verschillende werelden voorstellen. Er bestaan omgekeerd voor de ene materiële wereld waarin wij leven, ook meerdere wiskundige modellen, onderling gelijkwaardig, waarin deze wereld kan worden beschreven.
De oerintuïtie van het worden en de subjectiviteit van het bewustzijn ontbreken in de wiskunde geheel. Als de wereld een wiskundige structuur is, bestaat die structuur kennelijk onafhankelijk van de wezens die die structuur gewaarworden en haar met hun verstand analyseren. De wiskundige structuur van de wereld wordt bovendien geacht niet alleen alle plaatsen in de ruimte, maar ook alle momenten in de tijd te omvatten. De tijd kan in haar formules wel als variabele verschijnen: t1, t2, enzovoort voor een reeks van opeenvolgende momenten. De wiskundige structuur zelf, en daarmee de wereld waaraan zij gelijkgesteld wordt, is echter statisch en onveranderlijk.
Bewijst het succes van het mathematische wereldbeeld dat wording en bewustzijn illusies zijn, psychologische eigenaardigheden, niet alleen onvatbaar voor wetenschappelijke analyse maar ook zonder parallel in de werkelijkheid? De Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer, evenals David Hilbert een tijdgenoot van de beide hoofdpersonen van dit boek, bewandelde de omgekeerde weg. Brouwer, wiskundige met een hang naar mystiek, betoogde dat de wiskunde een schepping van tijd en bewustzijn is, en het kind kan niet de verwekker van zijn ouders zijn.3
In Brouwers redenering splitst het bewustzijn ik en wereld, en wel zo, dat de wereld steeds tegenover het ik lijkt terug te treden en te wijken in de herinnering. Bewustzijn en tijdzin genereren aldus de eerste veelheid, namelijk het tweetal van ik en wereld. De gewaarwording van veelheid ligt op haar beurt ten grondslag aan de wiskunde. Wiskunde is immers in de ruimste zin structuurwetenschap en zonder veelheid van elementen kan er geen structuur zijn. Van een veelheid kunnen wij ons weer niet bewust worden zonder de intuïtie van tijd. Men kan wel zeggen dat de wiskunde statisch is, dat zij overal en altijd dezelfde is, maar de wiskunde ontvouwt zich voor ons bewustzijn in de tijd. Bij het tellen trekt het ene na het andere element van een veelheid aan ons voorbij. Bij de wiskundige bewijsvoering gaan wij van de ene naar de andere stelling. Bewustzijn, tijdzin, veelheid, wiskunde: zo komen wij volgens Brouwer tot ordening van de wereld en van onze ervaringen.