EN
Blog
Contact
Bestelformulier
Oneindigheid en het continuüm
❖
Een netelig probleem, zowel in de wiskunde als in de werkelijkheid die zij geacht wordt te beschrijven, is de notie van oneindigheid. Het oneindig grote wordt door de wiskunde gesuggereerd. Er is immers geen wiskundige grens gesteld aan de grootte van een getal of de lengte van een lijn. ‘Oneindig’ heeft een eigen symbool: ∞. Er bestaat van het begrip ‘oneindig’ echter geen wiskundige definitie. Men kan met ‘oneindig’ niet rekenen en er niets mee bewijzen.
Volgens de genoemde Brouwer moeten wij ons in de wiskunde beperken tot de intuïtie, dat wil zeggen, tot wat zich aan het bewustzijn openbaart (vandaar de benaming ‘intuïtionisme’ voor de wiskundige stroming die op Brouwers ideeën voortborduurt). Wat zich aan het bewustzijn openbaart, is de opeenvolging van almaar grotere getallen, van een steeds grotere omvang in de tijd. Wat zich in onze voorstelling voordoet, is echter op elk afzonderlijk moment eindig en afgebakend. Van het oneindig grote hebben wij geen voorstelling. In de Oudheid beweerde Aristoteles iets dergelijks. Het oneindig grote, zei hij, bestaat wel in potentie, omdat naast elk getal, hoe groot ook, nog een groter getal kan worden bedacht door bij het eerste 1 op te tellen. Het oneindig grote wordt echter nooit gerealiseerd, juist omdat het altijd onder constructie is en de gang naar het oneindige geen eindpunt heeft.
Aristoteles meende wel dat de tijd oneindig is, dat de geschiedenis van de wereld geen begin en geen einde heeft. Dit lijkt in strijd met het idee dat het oneindig grote (of oneindig lang durende in dit geval) slechts in potentie en niet in werkelijkheid bestaat. Tegenspraak is er echter alleen wanneer men de wording ontkent. In een wereld die niet simpelweg is maar die voortdurend van de ene staat in de andere overgaat, is immers ook steeds slechts een enkel moment reëel. In de Britse animatiefilm Wallace & Gromit: The wrong trousers uit 1993 zit de hond Gromit op een voortrazende speelgoedtrein. Wanneer hij het einde van de spoorbaan nadert, legt hij bliksemsnel nieuwe stukken rails voor de locomotief, zodat de trein kan blijven doordenderen. Een wereld in wording creëert aan de grens van het heden onophoudelijk nieuwe momenten en stoot de oude af naar het verleden, zodat ook hier de oneindigheid wel potentieel maar niet actueel is.
Tegenover de duizelingwekkendheid van het eeuwigdurende staat de paradoxaliteit van de eindige tijd. Als het universum een begin heeft, zoals in de breed geaccepteerde theorie van de oerknal, wat was er dan vóór het begin? De kerkvader Augustinus zei: voor het begin van de tijd was er niets, want God heeft de tijd tegelijkertijd met de wereld geschapen. De bekende fysicus Stephen Hawking maakte een vergelijking met de ruimte. De vraag wat er voorafging aan het begin van de tijd, heeft evenmin betekenis als de vraag wat er ten zuiden van de zuidpool ligt, aldus Hawking in zijn populaire boekje over de tijd.1 De conclusie moet kennelijk luiden dat er wel tijd is in het universum maar dat het universum niet in de tijd is. Het al is niet tijdelijk en niet eeuwig; het is om zo te zeggen ontijdig.
Eindig of oneindig, leeftijd en omvang van het heelal gaan het menselijke voorstellingsvermogen hoe dan ook te boven. Het oneindig grote spreekt tot de verbeelding. Het kan filosofische melancholie in de hand werken bij de gedachte aan de eeuwigheid waarin ik niet was en niet zal zijn. Voor het overige is het vooral een academische kwestie, van geen belang voor de wereld van onze ervaring.
Met het oneindig kleine is het anders gesteld. In de wiskunde verschijnt het oneindig kleine verschijnt in de vorm van het continuüm. Het getal π — de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel — ligt tussen de getallen 3 en 4; preciezer: tussen 3,1 en 3,2; nog preciezer: tussen 3,14 en 3,15; nog preciezer: tussen 3,141 en 3,142. Men kan het interval rond π onbeperkt verkleinen zonder ooit de exacte uitdrukking van π als decimale breuk te vinden. Meetkundig uitgedrukt bestaat er geen lijnstukje zo klein dat het een geheel aantal malen zowel op de middellijn als op de omtrek van een cirkel kan worden afgepast. De reeks breuken tussen 3 en 4 is continu. Zij is zelfs continuer dan continu — ‘dicht’ in de wiskundige terminologie — omdat temidden van die oneindige hoeveelheid breuken nog getallen als π liggen die aan geen van die breuken gelijk zijn.
Het continuüm is een wiskundige constructie. Is de wiskunde in dit opzicht ook een weerspiegeling van de werkelijkheid? Is de materiële wereld continu, zoals de wiskundige getallenreeks en de wiskundige lijn, of bestaat zij integendeel uit kleinste bouwstenen die zich niet verder laten splitsen: ‘atomen’ in de oude Griekse betekenis, deeltjes als kwarks en fotonen in het moderne standaardmodel? Zijn tijd en ruimte continu of zijn ook zij discreet, opgebouwd uit ruimte-atomen en tijdatomen, kleinste volumes en kortste tijdsduren die geen verdere deling toelaten? Tegen de continuïteit van ruimte en tijd voerde Zeno van Elea, een leerling van Parmenides, zijn befaamde paradoxen aan. De atletische Achilles kan een schildpad niet inhalen. Hij moet namelijk eerst zijn beginachterstand inlopen, dan een kleinere achterstand, omdat de schildpad inmiddels een eind verder is gekropen, dan een weer kleinere achterstand, enzovoort, enzovoort.
In een discrete tijd en ruimte zal de voorsprong van de schildpad op een gegeven moment tot de kleinst mogelijke waarde zijn geslonken en volstaat een enkele stap van de hardloper om de schildpad voorbij te gaan. Zijn tijd en ruimte daarentegen continu en heeft het kleine geen grens, dan levert Zeno’s Achilles een paradox op die weliswaar tegen de ervaring ingaat maar die door logici en wiskundigen tot op heden eigenlijk niet bevredigend is opgelost.
Wanneer het oneindig kleine in een wiskundig model van de wereld verschijnt, spreekt de fysicus van een singulariteit: een bijzonder punt of moment waar de bekende natuurwetten niet langer bruikbaar zijn. Zo’n singulariteit is bijvoorbeeld het veronderstelde begin van het universum, onmiddellijk voor de oerknal, toen alle massa en energie in het heelal in een punt met oneindig kleine afmeting en oneindig grote dichtheid was samengebald. Omdat het oneindig kleine evenmin wiskundig valt te definiëren als het oneindig grote, probeert de fysicus in zo’n geval met de ene of andere kunstgreep de singulariteit uit zijn formule te verdrijven: de fomule te ‘normaliseren’, zoals de technische term luidt.
Zeno wilde met zijn paradoxen de opvatting van zijn leermeester verdedigen dat beweging en verandering slechts in onze verbeelding bestaan. Is de ruimte continu, dan kan er geen beweging van de ene plaats naar de andere zijn. Is de tijd continu, dan kan er geen verandering, geen geleidelijke overgang van de ene toestand in de andere zijn. In beide gevallen is het aantal tussenstappen namelijk steeds oneindig groot, zodat de beweging of verandering, zelfs over het kleinste interval, nooit wordt voltooid.
Zijn ruimte en tijd discreet, bestaat er dus een kleinste interval in de ruimte en een kortste duur in de tijd, dan worden de paradoxen van Zeno vermeden, maar verschijnen andere paradoxen in hun plaats. Wat is immers een kleinste tijdsduur? Vallen er binnen zo’n tijdatoom nog verschillende toestanden of gebeurtenissen te onderscheiden, hetzij in de materiële wereld, hetzij in de gedachtenwereld van de onderzoeker, dan is het veronderstelde tijdatoom bijkbaar niet werkelijk de kortste tijd. Is het tijdatoom werkelijk geheel leeg, gebeurt er in die tijd dus werkelijk helemaal niets, noch in de fysische wereld, noch in enig bewustzijn van die wereld, dan heeft het begrip ‘duur’ geen betekenis.2 In dit geval klapt het tijdatoom ineen tot het oneindig kleine en verschijnt weer het continuüm van Zeno. Als er tijdatomen bestaan, zijn er daarvan blijkbaar oneindig vele die oneindig dicht bij elkaar liggen.
De vraag naar de aard van de tijd, continu of discreet, raakt onmiddellijk het beeld dat wij mensen van onszelf hebben. Wij veranderen en verouderen, maar wij menen dat wij op de een of andere manier toch dezelfde persoon blijven. Wij ervaren ons eigen bewustzijn als een continue stroom waarin ieder moment iets nieuws biedt en tegelijkertijd iets van het voorafgaande bewaart. In een discrete tijd lijkt er echter evenmin verandering te zijn als in Zeno’s continuüm. In een discrete tijd veranderen wij niet en is de levensduur van geen enkel ding langer dan een enkel tijdatoom. In een discrete tijd zijn wij en is ieder ding een opeenvolging van verschillende personen en verschillende dingen, ieder vrijwel maar niet volledig gelijk aan zijn onmiddellijke voorganger.