HoofdpaginaGa naar HENRI OOSTHOUT
Pi en de oneindigheid
Lezing bij concerten van het Strijps Kamerkoor, 4 en 5 november 2017
(c) Henri Oosthout 2017

‘Pi…’, dames en heren, zijn de beginletters van de componisten die u vanavond kunt beluisteren. Giuseppe Pitoni was een Romeinse kapelmeester en een uiterst productieve componist in de tijd van de Barok. Ildebrando Pizzetti schreef zijn Messa di requiem enige jaren na de Eerste Wereldoorlog.

Maar pi is natuurlijk ook het bekende wiskundige symbool. Pi, de Griekse letter p, staat voor een merkwaardig getal dat zich heeft genesteld in het oneindige, beter gezegd, in het oneindig kleine, in wat de wiskundigen gewichtig de ‘machtigheid van het continuüm’ noemen.

Tegenover het oneindig kleine van pi staat het oneindig lange, de eeuwigheid, waarover wordt gesproken in de Latijnse requiemmis. De hymne Dies irae is een donker en dreigend lied over de laatste dag, de dag waarop de gestorvenen zullen worden geoordeeld. (De tekst is overigens — maar dit terzijde — gesteld in een merkwaardig potjes-Latijn vol fouten tegen de klassieke grammatica.)

Dies irae, dies illa | solvet saeclum in favilla, luiden de beginregels: ‘Dag van woede, die dag zal het tijdelijke in as ontbinden.’ En verderop: Quantus tremor est futurus, quando Judex est venturus. ‘Welk een siddering zal er zijn, wanneer de rechter zal komen.’ Quidquid latet apparebit; nil inultum remanebit. ‘Alwat verborgen is, zal aan het licht komen; niets zal ongewroken blijven.’ Op het tweede Vaticaanse concilie, een halve eeuw geleden, werd het Dies irae, juist om zijn sombere strekking, uit het misformulier geschrapt.

Milder van toon is de tekst die bij de communie klinkt: Requiem aeternam dona eis, domine ... Lux aeterna luceat eis. ‘Schenk hun eeuwige rust, heer, en moge eeuwig licht hen verlichten.’

De oneindigheid is een wiskundig probleem, het is een natuurkundig probleem, en het is een filosofisch probleem. Een bespiegeling over pi en de oneindigheid voert ons van het onvoorstelbaar grote naar het even onvoorstelbaar kleine, en weer terug, van de kleinste ruimte, het kortste moment, naar de uitgestrektheid in ruimte en tijd van het universum. In de geschiedenis voert het ons van oude Griekse denkers langs middeleeuwse theologen naar de moderne astronomie.

In een half uur de oneindigheid peilen, filosoferen met, onvermijdelijk, een flinke scheut wiskunde: is dat niet een waagstuk? Vermoedelijk wel, maar wij kunnen ons gesterkt voelen door de woorden van Plato: filosoferen is wagen. Plato schetst in zijn dialoog Timaeus hoe de kosmos volgens hem tot stand is gekomen: een merkwaardig verhaal, waarin een goddelijke kunstenaar –- in het Grieks ‘demiurg’ — de tijdelijke en veranderlijke wereld schept uit meetkundige figuren — punten en lijnen, cirkels, driehoeken, rechthoeken, kubussen en piramides — naar een eeuwig en onveranderlijk voorbeeld. Of het inderdaad zo is gegaan zoals ik het vertel, weet ik niet, zegt Plato, maar om het je zo voor te stellen, dat is toch wel geoorloofd en ook het wagen waard.

Plato had goed gezien: de filosofie heeft wel de ambitie maar niet het vermogen diepe vragen over de wereld en het leven definitief te beantwoorden. Men hoeft maar een geschiedenis van de filosofie door te bladeren om te zien dat iedere denker het in de afgelopen vijfentwintig eeuwen met vrijwel iedere andere denker oneens is geweest.

Filosofie is gedoemd te zweven tussen het overtuigende verhaal en de onweerlegbare kritiek, tussen het vele dat wij zouden willen weten en het heel weinige dat wij met zekerheid kunnen weten. Het hoe van de wereld kunnen wij, dankzij de moderne natuurwetenschap, tot op zekere hoogte beantwoorden. Het wat, laat staan het waarom van de wereld blijft wellicht voor altijd een raadsel.

Maar dit is nu juist waarom wij — of toch althans sommigen onder ons — filosoferen: eerst uit verwondering, zoals Aristoteles zegt, uit verwondering over wat wij niet kunnen begrijpen en niet kunnen doorgronden, dan om het onvoorstelbare zo goed en zo kwaad als het gaat toch nog enigszins voorstelbaar te maken, in een overtuigend verhaal te gieten, en tenslotte om ons te verzoenen met de fundamentele raadselachtigheid van de wereld en de raadselachtigheid van ons eigen bestaan.

In de eeuw van de Verlichting schreef de grote Immanuel Kant: het is het noodlot van het menselijke verstand, dat dit verstand vragen oproept die het zelf niet kan beantwoorden. Hoewel sommige natuurkundigen optimistisch zijn over de mogelijkheid van een theorie van alles, een natuurkundige theorie wel te verstaan, is het de vraag of de wereldorde wel geheel door mensen kan worden bevat. Goede filosofie brengt het verstand daarom tot rust maar goede filosofie moet het verstand ook steeds uitdagen tot verder onderzoek. Definitief zal zij nooit zijn.

De teksten van de requiemmis spreken van eeuwigheid. Hoe moeten wij ons deze eeuwigheid voorstellen? Is het een eeuwigheid zonder tijd? Of is het een tijd zonder einde? Oneindige tijd — in het Latijn nunc fluens, het ‘stromende nu’ — zal onverbiddelijk de kwelling van de verveling brengen, wanneer alles al ontelbare malen is gedacht, gevoeld, beleefd, verwacht, herinnerd. Eeuwigheid zonder tijd is eeuwige stilstand, nunc stans, zonder verandering, zonder gedachtenstroom, zonder putten uit de herinnering, dus eigenlijk zonder bewustzijn.

In de eeuwigheid van het nunc stans zal geen muziek klinken. Muziek is immers niet: de ene klank, maar: de opeenvolging van klanken, dat wil zeggen, de indruk van het voorbije, de verrassing van het actuele en de verwachting van wat nog komen gaat. Een schilderij kan men genieten in het moment. Het muziekstuk is geheel en al gebonden aan de tijd. Muziek heeft geen schoonheid, kan ons niet ontroeren, anders dan in de tijd.

Aristoteles meende dat de wereld, de kosmos, eeuwig is, dat wil zeggen, oneindig in de tijd. De wereld heeft geen begin en geen einde. Eeuwig worden de aarde en de sterrenhemel en alles wat daarbinnen is, bewogen door de buitenste sfeer, de God van Aristoteles, die ‘eerste’ of ‘onbewogen beweger’ heet. De oneindigheid van de wereld is volgens Aristoteles echter niet een feitelijke, gerealiseerde oneindigheid. Zij is altijd slechts potentiële oneindigheid, oneindigheid in wording, omdat in de eindeloze tijd ieder moment pas bestaat als het vorige is vervlogen.

Plato spreekt wel van schepping: zijn wereld wordt vervaardigd door de demiurg, de grote handwerksman. Ook Plato’s demiurg is goddelijk, maar hij is niet de God van het christendom. Hij schept de wereld niet uit niets, niet uit zichzelf, maar uit ongevormde materie en met de blik gericht op een eeuwig voorbeeld.

Na Plato en Aristoteles kwamen de stoïcijnen. Zij hadden geen demiurg nodig. Hun tijd was eeuwige kringloop. Volgens de stoïcijnen zal de wereld eens ten einde lopen in een catastrofale brand die heel het uitspansel zal vernietigen. Daarna zal de wereldgeschiedenis zich op dezelfde manier herhalen. Wij zullen een ontelbaar aantal malen geboren worden en sterven, een ontelbaar aantal malen hier in dit gebouw zijn, een ontelbaar aantal malen dezelfde gedachten koesteren. Dit is de eeuwigheid die in de negentiende eeuw door Friedrich Nietzsche werd verkondigd: de eeuwige wederkeer ‘tot dit gelijke, ditzelfde leven’.

Al deze opvattingen zijn in strijd met de christelijke geloofsleer. Volgens de christelijke theologie heeft God de wereld in zeven dagen uit niets geschapen. Wat was er vóór de schepping? De kerkvader Augustinus vond dit een onzinnige vraag. Zoals de demiurg van Plato de tijd heeft vervaardigd naar het beeld van de eeuwigheid, zo heeft de christelijke God de tijd tegelijk met de wereld gemaakt. Vragen naar wat er vóór het begin van de tijd was, is even zinloos als vragen wat er ten zuiden van de zuidpool is.

De uitspraak van Augustinus houdt ook in het licht van de moderne natuurwetenschap steek. Als de kosmos is ontstaan uit een big bang, is ook de tijd daaruit voortgekomen. De tijd voltrekt zich in de kosmos. De kosmos zelf is niet in de tijd, althans niet in wat wij als tijd ervaren. Er hangt buiten het heelal geen klok waarop de leeftijd van het heelal valt af te lezen. Het heelal is eeuwigheid en het is, volgens recent onderzoek, waarschijnlijk ook oneindigheid: zich oneindig uitstrekkend buiten wat wij op grond van de natuurwetten kunnen waarnemen. Ook de ruimte is namelijk in de kosmos, in het al; het al is niet in de ruimte (want dan zouden wij met recht kunnen vragen wat er buiten het al is).

Als de oneindigheid bestaat, is er niets dat wij het grootste kunnen noemen. Er is immers altijd iets nog groters te bedenken dan datgene wat wij het grootste noemen. Als de oneindigheid bestaat, vervalt het befaamde godsbewijs van de middeleeuwer Anselmus. Anselmus ging er namelijk juist vanuit dat iets in de wereld het allergrootste, het grootst denkbare, moet zijn, en dit grootste noemde hij God.

Moeten wij God dan misschien juist met de oneindigheid laten samenvallen? Is God oneindig, is zijn scheppende macht oneindig? Middeleeuwse theologen beten op deze kwestie hun tanden stuk. Als Gods macht oneindig is, kan hij dan maken dat 1 plus 1 ergens gelijk is aan 3, dat het ooit tegelijkertijd dag en nacht is? Kan hij zijn eigen bestaan met terugwerkende kracht ongedaan maken?

Anderzijds: als de oneindigheid bestaat, lijkt de scheppende God, een God die uit alle mogelijke werelden er één kiest, overbodig. De vraag: waarom deze wereld, waarom dit leven, wordt dan irrelevant. Als de oneindigheid bestaat, zal namelijk al het mogelijke wel ergens in de oneindige wereldruimte worden gerealiseerd. Het oneindige berooft ons dan wel van onze bijzonderheid; het ontneemt onze beslissingen hun belang. In de oneindige wereldruimte zal ik oneindig vele dubbelgangers hebben en op elk moment elke beslissing nemen die ik kan nemen. Tegenover elke verkeerde keuze zal een ontelbaar aantal malen de goede keuze staan.

Nu het oneindig kleine. Ook daarvoor gaan wij terug naar de Oudheid. De oudste Griekse wiskundige was de legendarische Pythagoras, die leefde rond 600 v. Chr. Pythagoras schijnt een charismatisch leraar te zijn geweest die door zijn volgelingen bijna als een heilige werd vereerd. Discussies binnen zijn school werden dikwijls eenvoudig afgedaan met de woorden autos epha: ‘Hij, Pythagoras, heeft het zelf gezegd.’ De pythagoreeërs moesten zich aan vreemde leefregels houden: geen bonen eten, want de winderigheid die daardoor werd veroorzaakt, duidde op de aanwezigheid van gereïncarneerde zielen; niet plassen in de richting van de zon; de rechterschoen uitdoen vóór de linkerschoen, maar de linkervoet wassen vóór de rechtervoet.

Volgens antieke bronnen was Pythagoras de eerste mathematicus maar ook de eerste die zichzelf als ‘filosoof’ betitelde, dat wil zeggen, ‘minnaar van wijsheid’. De mensheid, zou hij hebben gezegd, valt in drie typen uiteen. Sommigen zijn levenslang uit op geld en goederen, anderen worden bezeten door een razende honger naar macht, maar de derde soort zijn degenen die niets liever doen dan de sterrenhemel bewonderen en zich verbazen over de orde en regelmaat in de natuur.

Pythagoras zwoer bij de muziek. Hij was de eerste muziekpsycholoog. De juiste melodieën en de juiste ritmen konden volgens hem schadelijke emoties doven, de nachtrust bevorderen en een edel karakter vormen. Pythagoras zou ook de muzikale intervallen hebben ontdekt door een snaar op verschillende punten vast te zetten. Produceert de hele snaar een C (do), dan klinkt helft van de snaar een octaaf hoger, 2/3 geeft de kwint (G of sol), 3/4 geeft de kwart (F of fa).

Boven alles waren Pythagoras en de zijnen bezeten van getallen. De hele kosmos is uit niets anders dan getallen opgebouwd, beweerden zij. Zo was 7 het getal van het beslissende moment, want de levensfasen van de mens zouden steeds veelvouden van zeven jaar beslaan. Gerechtigheid was ‘een gelijk aantal malen het gelijke’, ofwel een kwadraat: 4 of 9. 5 was het huwelijk, de vereniging van 2 en 3, ofwel even — het vrouwelijke — en oneven — het mannelijke. Iemand uit de school van Pythagoras zou zelfs het getal van het paard hebben bepaald door een levensgroot paard in het zand te tekenen en te tellen hoeveel steentjes er langs de omtrek konden worden gelegd.

Aanvankelijk waren de Griekse wiskundigen vooral meetkundigen. Wie niets van de filosoof Pythagoras weet, kent toch waarschijnlijk wel de stelling die naar hem is genoemd. Plato had deze interesse van de pythagoreeërs geërfd. Boven de deur van zijn Academie stond: ‘Laat niemand die ongeschoold is in de meetkunde hier binnentreden.’ Het is daarom niet verwonderlijk dat hij in zijn scheppingsverhaal met allerlei meetkundige figuren goochelt.

De Griekse meetkundigen stuitten echter op een lastig probleem; en nu ontkom ik er niet aan om enkele minuten een beroep te doen op uw zin voor wiskunde, of anders op uw geduld.

Wij kunnen twee voorwerpen van verschillende grootte met elkaar vergelijken door bijvoorbeeld te zeggen: dit is de helft van dat, of dit is driemaal zo groot als dat. Soms blijkt zo’n vergelijking in hele getallen of breuken echter onmogelijk. Neem een cirkel. De omtrek daarvan is langer dan de middellijn: het kost meer tijd om een verkeersplein rond te lopen dan om het — op een rustig moment — dwars over te steken. Maar hoeveel langer is de omtrek? Bij benadering geldt: de omtrek is ruim drie keer zo lang als de middellijn, maar benaderingen volstaan in de wiskunde niet.

De verhouding tussen omtrek en middellijn noemen wij ‘pi’. Pi ligt dus tussen drie 3 en 4, maar dichter bij 3. Preciezer: pi ligt tussen 3,1 en 3,2, nog preciezer: tussen 3,14 en 3,15, nog preciezer: tussen 3,141 en 3,142. Wij kunnen zo oneindig doorgaan zonder ooit een breuk te vinden die de waarde van pi exact uitdrukt. Pi heet daarom ‘irrationaal’, wat ‘zonder verhouding’ betekent. Tussen 3 en 4 liggen oneindig veel breuken, maar getallen als pi lijken nog een schep bovenop de oneindigheid te doen.

Met andere woorden: er is oneindig en er is oneindig. Veronderstel dat iemand een gedetailleerde beschrijving van zijn eigen leven wil geven. Het kost hem echter twee avonden om één dag uit zijn leven volledig te beschrijven. Als hij op zijn twintigste begint, heeft hij op zijn dertigste pas de eerste vijf jaar van zijn leven vastgelegd, en op zijn tachtigste pas de eerste dertig jaar. Zijn autobiografie gaat steeds meer achterlopen. Af zal zij nooit zijn, omdat het aantal geleefde dagen altijd groter is dan het aantal beschreven dagen.

Maar als deze persoon nu eens eeuwig zou leven, dan zou voor elke dag uit zijn leven altijd wel een andere dag aanbreken, na honderd, duizend, miljoen jaar of meer, waarop die ene dag op schrift wordt gesteld. In de eindigheid is het aantal geleefde dagen altijd groter dan het aantal beschreven dagen, maar de oneindigheid van de geleefde dagen is dezelfde als de oneindigheid van de beschreven dagen.

Het oneindig kleine van pi, dat oneindig kleine interval tussen 3 en 4, tussen 3,1 en 3,2, enzovoort, is echter een oneindigheid van een hogere orde, een hogere macht, in wiskundige termen. Vandaar dat de wiskundige spreekt van de ‘machtigheid van het continuüm’. Men kan de afstand tussen 3 en 4 met zoveel breuken volstoppen als men wil, maar onder die breuken zal men pi niet vinden.

Wij hebben nu naast het oneindig grote ook het oneindig kleine gevonden, zelfs een oneindig klein in het kwadraat. Maar kan het oneindig kleine wel bestaan? Berucht is de paradox van Achilles en de schildpad. De atletische Achilles geeft een schildpad 100 m voorsprong. Laten wij voor het gemak aannemen dat Achilles 10x zo snel loopt als de schildpad. Kan hij het dier inhalen? Om dat te doen, moet hij eerst die 100 m afleggen, maar dan is de schildpad 10 m verder. Als Achilles deze 10 m heeft afgelegd, ligt de schildpad nog 1 m voor. De voorsprong van het dier wordt kleiner en kleiner, eindeloos kleiner, maar zal nooit 0 worden. Achilles zal het beest dus nooit inhalen.

De oplossing van de paradox lijkt erin te liggen dat het oneindig kleine niet bestaat, dat de ‘machtigheid van het continuüm’ slechts een droom van de wiskundigen is. Het is een oud strijdpunt: geeft de wiskunde ons diepe kennis over de wereld, zoals Plato en de pythagoreeërs dachten? ‘Wiskunde’, Grieks ‘mathematica’, betekent feitelijk immers niets anders dan ‘kunst van het weten’. Of is de wiskunde uiteindelijk slechts een menselijke constructie, een praktische vaardigheid, een veredelde vorm van knutselen, om het oneerbiedig te zeggen.

De wijsgeer Democritus vroeg een leerling wat men overhoudt als men een boon doorsnijdt. Twee halve bonen, was het antwoord. Kunnen wij die helften weer doorsnijden? Zeker. En gaat dat tot in het oneindige door? De leerling meende van wel, maar Democritus zei dat men eens op het allerkleinste zou stuiten, een stukje van de boon, zo klein, dat men het met geen mogelijkheid nog verder kon delen: een atoom, Grieks voor ‘onsplitsbaar’.

De moderne fysica worstelt eveneens met het oneindig kleine. Is het universum inderdaad ontstaan uit een zogenaamde singulariteit, een punt met oneindige dichtheid en oneindig kleine afmeting? Dan is de paradox van Achilles en de schildpad van toepassing. Om 1 seconde oud te worden, moest het heelal eerst een halve seconde bestaan, daarvoor een kwart, daarvoor een achtste, enzovoort, maar een werkelijk begin van het universum vinden wij zo nooit.

Vandaar dat sommige natuuronderzoekers de theorie van Democritus in een nieuw jasje steken. De atomen van Democritus blijken tegenwoordig wel degelijk nog verder deelbaar: in protonen, neutronen, elektronen. Maar ruimte en tijd zijn volgens sommigen niet oneindig deelbaar. De ruimte zou bestaan uit heel kleine delen, vele malen kleiner dan het kleinste deeltje in een atoom, maar toch niet oneindig klein. De tijd zou bestaan uit kortste momenten, vele malen korter dan een miljardste van een seconde, maar toch niet oneindig kort.

Deze theorie roept weer nieuwe vragen op. Wat is dat: een kortste tijd? Gebeurt er in die tijd niets, dan is er geen verandering, geen verstrijken van de tijd, dus eigenlijk geen tijd. Gebeurt er in die kortste tijd wel iets, dan kan men het stukje tijd opdelen in voor en na de gebeurtenis, en is de kortste tijd niet werkelijk de kortste tijd.

Terug naar de filosofie. Aan het slot van de Middeleeuwen heeft Nikolaas van Kues, een Duitse kerkvorst uit het gebied van de Moezel, getracht de oneindigheid in woorden en beelden te vangen.

Oneindig, schrijft Nikolaas, laat geen vergelijking toe. Er is niets groters dan het oneindige maar strikt genomen ook niets kleiners, omdat wij niet kunnen zeggen hoe groot of klein oneindig is. Het grootste is maximaal groot, het kleinste is maximaal klein, maar in de oneindigheid kan men groot en klein niet meer meten en blijft slechts het begrip ‘maximaal’ over. Het oneindig grote valt volgens Nikolaas dus eigenlijk samen met het oneindig kleine: pi is de eeuwigheid.

Neem weer een cirkel. Maakt men die onbeperkt groot, dan gaat hij steeds meer lijken op een oneindig lange rechte lijn. Maakt men de cirkel steeds maar kleiner, dan gaat hij steeds meer in de richting van een oneindig klein punt. Op een oneindige cirkel — oneindig groot of oneindig klein — vallen omtrek en middellijn samen. In de oneindigheid worden alle tegenstellingen opgeheven: de oneindigheid is coincidentia oppositorum, zoals de Latijnse uitdrukking luidt: het ‘samenvallen van tegengestelden’.

God en wereld zijn volgens Nikolaas beide oneindig, maar zij zijn het beide op een andere manier. God is complicatioexplicatio: ‘uitgevouwen’, en wel in een onbegrensde ruimte die talloze verschillende zonnen en planeten bevat.

God ontplooit zich tot de wereld, maar de wereld trekt zich ook in God samen. God is niet de wereld en tegelijkertijd is God in de wereld en in alles. De wereld is groter dan elk van haar delen en tegelijk is de wereld in elk individu en elk individu is de wereld. De fundamentele waarheid luidt volgens Nikolaas: alles in alles, en elk ding in elk ander ding. De wereld is alle dingen; elk ding is de hele wereld. De eeuwigheid een ondeelbaar moment, het moment een eeuwigheid.

Maar als het oneindige geen grenzen heeft, is het dan niet in zekere zin onbepaald? Moeten wij God en de wereld als onbepaald, als onaf zien? Integendeel, zegt Nikolaas: ‘oneindig’ is qua woordvorm wel negatief: ‘zonder einde’, maar volgens Nikolaas is de oneindigheid van God en wereld juist in de volle zin begrensd en af. De oneindigheid is wel degelijk begrensd, maar zij is alleen begrensd door zichzelf. Zij is voltooid en af, omdat in haar, juist omdat zij oneindig is, alles is gerealiseerd wat kan worden gerealiseerd.

Het idee van het oneindig grote in het oneindig kleine was niet geheel een vondst van Nikolaas van Kues. Anderhalve eeuw eerder schreef de Florentijnse dichter Dante Alighieri zijn Commedia. Latere generaties noemden het Divina commedia, ‘Goddelijke komedie’. Met ‘komedie’ bedoelde Dante niet een stuk vol grappen en grollen, maar een geschiedenis, een volstrekt serieuze geschiedenis in dit geval, die dreigend begint maar goed afloopt.

De ‘Komedie’ is het relaas van Dante’s tocht door hel, loutering en paradijs, en zij is, meer algemeen, een verbeelding van de menselijke levensweg. Fel en kleurrijk is de taal in het eerste deel, Inferno (‘De hel’), levendig maar serener in het tweede deel, Purgatorio (‘De loutering’), verheven en beschouwelijk in het slotdeel, Paradiso (‘Het paradijs’).

Er is wel geschat dat ‘De hel’ tienmaal zoveel lezers heeft als ‘De loutering’, en dit deel weer tienmaal zoveel als ‘Het paradijs’. Men moet ze echter alle drie lezen: Inferno in de onstuimige en ambitieuze jaren van de jeugd, Purgatorio tijdens de rijpe volwassenheid, Paradiso wanneer de jachtigheid van het actieve leven heeft plaatsgemaakt voor bezinning op wat de mens aan het einde van zijn gang door het tijdelijke nog rest.

In de limbo, de buitenste zoom van de hel, ontmoet Dante allereerst de grote wijsgeren uit de Oudheid. Onder hen natuurlijk Plato en Aristoteles, Democritus, van de atomen, en Zeno, die de paradox van Achilles en de schildpad bedacht. Zij verdienden weliswaar geen helse straffen, maar volgens middeleeuwse logica waren zij nu eenmaal gestorven vóór de komst van Christus en daarom konden zij niet door Christus worden verlost.

De Romeinse dichter Vergilius is vervolgens Dantes gids op een tocht door de kringen van de hel, langs vraatzuchtigen en verspillers, geweldplegers en oplichters, verleiders, corrupten, huichelaars en dieven, tot het middelpunt van de aarde. Daar zit Lucifer, de afvallige engel, de Satan, vastgevroren door de koude die hij met het wanhopige klappen van zijn vleugels zelf opwekt.

Vergilius, personificatie van de filosofie of de rede, begeleidt Dante ook op de beklimming van de louteringsberg, waar een andere Romein, de strenge en integere staatsman Cato, de wacht houdt.

In het paradijs kan aardse geleerdheid Dante echter niet meer de weg wijzen. Daar wordt de dichter bij de hand genomen door zijn hoofse geliefde Beatrice, die de theologie, de goddelijke wijsheid, verbeeldt.

Aan het slot van dit machtige werk maakt Dante een toespeling op pi, de verhouding tussen omtrek en middellijn van een cirkel. In deze laatste verzen ziet Dante God als de onbewogen beweger van Aristoteles, de macht die heel het uitspansel gaande houdt, en tegelijkertijd ziet hij God niet als het allergrootste maar als het oneindig kleine, als een punt in het centrum van het universum.

«Zoals de meetkundige», schrijft Dante, «zoals de meetkundige zich inspant de cirkel te meten en al denkend niet het uitgangspunt vindt dat hij nodig heeft, zo was ik bij deze nieuwe aanblik. Ik wilde zien hoe het beeld één werd met de cirkel en hoe het zich daarin bevond, maar daartoe zouden uit zichzelf mijn vleugels niet bij machte zijn geweest als niet mijn geest was getroffen door een bliksemschicht waarin zijn wil kwam. Aan hoge verbeelding ontbrak hier het kunnen, maar reeds wentelden mijn verlangen en mijn willen, als een wiel dat meedraait, door de liefde die de zon en de andere sterren beweegt.»

In de geschiedenis van het denken over tijd en eeuwigheid is het beeld van de cirkel bijzonder vruchtbaar geweest. De cirkel is de tijd, zijn middelpunt de eeuwigheid. Augustinus de kerkvader zegt: ons aardse leven verloopt langs de cirkel. Daar worden wij geboren en sterven wij. Daar bevinden wij ons steeds in een enkel ‘nu’, op een enkel moment tussen verleden en toekomst. Vanuit het middelpunt zouden wij in een enkele blik verleden, heden en toekomst kunnen schouwen. In het middelpunt vallen alle momenten van de tijd samen, zoals de spaken van een wiel langs de velg gescheiden zijn maar in de as van het wiel bij elkaar komen.

Vrij zijn wij langs de cirkel, want daar leven wij van moment tot moment en is de toekomst steeds ongewis. Noodzaak heerst in de eeuwigheid, want daar bestaan wat wij verleden, heden en toekomst noemen, eenvoudig naast elkaar in een nunc aeternum praesens, een ‘altijd aanwezig nu’. Wat in het middelpunt een ‘Zo moet het zijn’ is, wordt langs de cirkel een ‘Zo kan het zijn.’

Merkwaardigerwijze leven wij, in ons tijdelijke bestaan, eigenlijk ook in een eeuwigheid. Wij beleven immers altijd slechts het heden, nooit de toekomst en het verleden zelf. Dit heden, ons heden, is echter ook altijd in drieën gesplitst, zoals Augustinus al wist: het heden van wat wij beleven, het heden van wat wij ons herinneren — dat noemen wij ‘verleden’ — en het heden van onze verwachtingen, dat wij ‘toekomst’ noemen.

Een moderne filosofische school heeft dit idee tot dogma verheven: verleden en toekomst bestaan niet, hebben nooit bestaan en zullen nooit bestaan, zegt men daar. Het enige dat bestaat, het enige dat werkelijkheid is, is het heden, dit moment, dit ene nu, dat dan dus een eeuwig heden, nunc aeternum praesens, is.

Volgens de negentiende-eeuwse Deen Søren Kierkegaard vormt daarentegen juist de tegenstelling tussen tijdelijk en eeuwig de kern van het menselijke bestaan. In ons verenigen zich oneindigheid en eindigheid, tijd en eeuwigheid, en daardoor ook vrijheid en noodzaak. Wij zijn ons van deze tegenstelling bewust, en dit bewustzijn is zowel een kwelling als de weg tot de hoogste realisatie van het mens-zijn. Het besef van de tijdelijkheid is een ‘ziekte tot de dood’, zegt Kierkegaard: niet een dodelijke ziekte, maar een ziekte die tot de dood, dus heel ons tijdelijke bestaan, voortduurt.

De mens moet pogen deze ziekte te overwinnen door het eeuwige in het tijdelijke te realiseren. Wij moeten, in de woorden van Kierkegaard, van esthetische mens tot ethische mens worden. Wij moeten niet meer slaven zijn van onze indrukken en sensaties, zoals Don Giovanni, de wellustige rokkenjager uit de opera van Mozart, maar worden als de bijbelse Abraham, die bereid was zijn zoon Isaac te offeren, omdat hij zijn eigen tijdelijke wil ondergeschikt maakte aan de eeuwige wil van God.

Ook Kierkegaard heeft de paradox tussen tijd en eeuwigheid echter niet opgelost. Enerzijds moeten wij volgens hem onze vrijheid gebruiken. Wij moeten steeds kiezen. Wij mogen niet, schrijft hij, als een dronkelap op een kar zitten en de paarden hun gang laten gaan. Maar anderzijds noemt Kierkegaard onze vrijheid in de tijd een ‘monsterlijk’ geschenk en wil hij dat wij ‘in volle vastbeslotenheid’ dit geschenk teruggeven en berusten in de onontkoombaarheid van het eeuwige.

Al met al weten wij nog steeds niet precies wat eeuwigheid is. Er is trouwens ook niemand, geen filosoof of natuurkundige, die weet te zeggen wat tijd nu eigenlijk is. En dan bedoel ik niet het wiskundige beeld van de tijd als een lijn, als een vierde dimensie naast de ruimte, maar de mysterieuze wording en het voorbijgaan van onszelf en van alle dingen: hun verschijning uit de toekomst, hun aanwezigheid in het heden, hun verglijden in het verleden. Elk ding verenigt in zich en ook wij verenigen in ons wat onverenigbaar lijkt: nog niet zijn, zijn en niet meer zijn.

Ruimte kunnen wij ons voorstellen. Sterker nog: ruimte is volgens Immanuel Kant per definitie de vorm waarin ons verstand onze ervaringen giet. Tijd, de voorbijgaande tijd, kunnen wij ons echter niet werkelijk voor de geest halen. Tijd zit namelijk nooit in een enkele voorstelling, in een enkel bewustzijnsmoment, zoals muziek ook niet bestaat uit de ene noot of het ene akkoord. Tijd is juist de verbinding van bewustzijnsmomenten, de stroom van het bewustzijn. Wij beelden ons in dat ook de tijd stroomt, als een rivier, maar wat beweegt er dan eigenlijk? Varen wij in een bootje op weg naar de toekomst, of ligt onze boot stil in het water en bewegen de landschappen op de oevers langs ons heen van toekomst naar verleden?

Volgens sommige natuurkundigen is het verstrijken van de tijd slechts een psychologisch fenomeen, een illusie van ons brein. Volgens anderen is het juist het diepste fundament van de realiteit. De filosoof Leibniz suggereerde een scherpzinnige definitie van de tijd die tegelijkertijd een open deur is: tijd is datgene waardoor niet alles tegelijk gebeurt. De denkers en dichters die wij zojuist hebben aangehaald, proberen tijd en eeuwigheid te verzoenen. Hun tijd is ontvouwing van de eeuwigheid. Hun tijd maakt van het nunc stans een nunc fluens. Tijd en eeuwigheid elkaars tegenhanger. De cirkel een uitgevouwen punt, het middelpunt een samengevouwen cirkel.

Zoals gezegd, mag men van de filosofie geen definitieve antwoorden verwachten. Aan het einde van deze voordracht moeten wij daarom volstaan met de woorden van Plato. Of het werkelijk zo is als ik het hier heb geschilderd, weet ik niet, maar om het ons zo voor te stellen, dat is, denk ik, wel geoorloofd en het wagen waard.